Une infinité de nombres premiers de la forme 6n + 5 - Corrigé

Énoncé

Démontrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme \(6n+5\) .

Solution

Raisonnons par l'absurde, et supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme \(6n+5\) , c'est-à-dire de nombres premiers congrus à \(5\) modulo \(6\) .

On les note \(5 où les \(p_i\)  sont des   nombres premiers congrus à \(5\) modulo \(6\) .

On pose \(N=6p_1p_2...p_k+5\) .

Soit \(q\) un diviseur premier de \(N\) .

• Si \(q\) était pair, alors \(N\) serait aussi pair, et donc divisible par \(2\) .
  Or \(N \equiv 6p_1p_2...p_k +5\equiv 5 \equiv 1 \ [2]\) , donc \(N\) n'est pas divisible par \(2\) , et donc \(q\) n'est pas pair.
  On en déduit que \(q\) n'est congru ni à \(0\) , ni à \(2\) , ni à \(4\) modulo \(6\) .
  
• Si \(q\) valait \(3\) , alors on aurait \(N=3q'\) avec \(q' \in \mathbb{N}\) , et donc \(5=3q'-6p_1p_2...p_k=3(q'-2p_1p_2...p_k)\) , donc \(3\) diviserait \(5\) : c'est absurde.
  Ainsi \(q \neq 3\) et \(q\) n'est pas congru à \(3\) modulo \(6\) .
  
• Si \(q\) valait \(5\) , alors on aurait \(N=5q'\) avec \(q' \in \mathbb{N}\) , et donc \(6p_1p_2...p_k=5-5q'=5(1-q')\) , donc \(5\) diviserait \(6p_1p_2...p_k\) : c'est absurde, car tous les \(p_i\) sont strictement supérieurs à \(5\) .
  Ainsi \(q \neq 5\) et \(q\) n'est pas congru à \(5\) modulo \(6\) .
  

Finalement, on en déduit que \(q \equiv 1 \ [6]\) .

Par conséquent, \(q\) étant un diviseur premier quelconque de \(N\) , on en déduit que \(N\) s'écrit comme produit de facteurs premiers tous congrus à \(1\) modulo \(6\) , et donc que \(N \equiv 1 \ [6]\) .

Or, par définition de \(N\) , il est clair que \(N \equiv 5 \ [6]\) . C'est une contradiction, car \(5 \not\equiv 1 \ [6]\) .

Finalement, il existe donc une infinité de nombres premiers de la forme \(6n+5\) avec \(n \in \mathbb{N}\) .